摘要：蓋爾金圓定理蓋爾金圓定理是線性代數(shù)中一個(gè)有趣而實(shí)用的定理，可以用它來描述矩陣的特征值。下面給出如何在復(fù)平面上畫方陣的蓋爾金圓的代碼，如下該方陣的蓋爾金圓分布如下圖以下給出蓋爾金圓定理在嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣中的應(yīng)用。

??蓋爾金圓定理（Gersghorin Circle Thorem）是線性代數(shù)中一個(gè)有趣而實(shí)用的定理，可以用它來描述矩陣的特征值。首先我們先來看一下蓋爾金圓定理。
??（蓋爾金圓定理）對(duì)于任意的$n$階方陣$A$，若$lambda$是$A$的一個(gè)特征值，則存在$1leq ileq n$,使得$|lambda - a_{ii}| leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$
證明：
??若$lambda$是$A$的一個(gè)特征值，設(shè)其特征向量為$x$，可以選取$i$使得$|x_i|=maxlimits_{j=1,2,...,n} |x_{j}|=1,$這總是可以做到的，因?yàn)樘卣飨蛄砍松先魏螖?shù)（除0外）仍為特征向量。
??根據(jù)特征值和特征向量的定義，有$Ax=lambda x$,因此有：
$$sumlimits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=lambda x_{i}.$$
從而：
$$|(lambda-a_{ii})x_{i}|=|lambda-a_{ii}|leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}x_{j}|leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$$
證明完畢
??對(duì)于任意一個(gè)方陣，我們只要畫出它在復(fù)平面上的蓋爾金圓，就能推測(cè)出特征值的分布情況了，因?yàn)樵摲疥嚨乃刑卣髦悼偸窃谶@些圓中某一個(gè)內(nèi)。
??下面給出如何在復(fù)平面上畫方陣的蓋爾金圓的Python代碼，如下：

# Plotting Gershgorin Circles for any square matrix
from matplotlib.patches import Circle
import matplotlib.pyplot as plt
from math import sqrt
import numpy as np

# example matrix, each entity can be complex number
A = np.array([[5, 0, 0, -1],
              [1, 0, -1, 0],
              [-1.5, 1, -2, 1],
              [-1, 1, 1, -3j]
             ],dtype="complex")

# begin plotting figure
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)

# Circle: |A[i,i]-z| <= sum(|A[i,j]| for j in range(n) and j != i)
for i in range(A.shape[0]):
    real = A[i,i].real    # each complex"s real part
    imag = A[i,i].imag    # each complex"s image part

    # calculate the radius of each circle
    radius = -sqrt(A[i,i].real**2+A[i,i].imag**2)
    for j in range(A.shape[0]):
        radius += sqrt(A[i,j].real**2+A[i,j].imag**2)

    # add the circle to the  figure and plot the center of the circle
    cir = Circle(xy = (real,imag), radius=radius, alpha=0.5, fill=False)
    ax.add_patch(cir)
    x, y = real, imag
    ax.plot(x, y, "ro")

# title
plt.title("Gershgorin Circles of Matrix")

# show the figure which can be used for analyse eigenvalues of the matrix
plt.savefig("E://GCircle.png")

該方陣的蓋爾金圓分布如下圖：

??以下給出蓋爾金圓定理在 嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣中的應(yīng)用。

??嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣（Strictly Diagonally Dominant Matrix, SDD）是數(shù)值分析中的一個(gè)重要概念，它能保證Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收斂性。
??所謂SDD，指的是滿足以下條件的方陣：
$$|a_{ii}| > sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|, forall i =1,2,...,n.$$
通俗地來理解，就是主對(duì)角線上的每個(gè)元素的模（或者絕對(duì)值）都大于該元素所在行的所有元素（除掉它本身）的模（或者絕對(duì)值）的總和。
??下面給出SDD的幾個(gè)重要性質(zhì)。
（SDD的性質(zhì)）SDD必定是非奇異矩陣。
證明：若$A$為SDD，它不是非奇異矩陣，則$A$至少有一個(gè)特征值為0，從而由蓋爾金圓定理可知，存在$1leq ileq n$,使得$|a_{ii}| leq sumlimits_{j=1,j eq i}^{n}|a_{ij}|.$ 此與SDD的定義矛盾。從而SDD必定是非奇異矩陣。

（SDD的性質(zhì)）若$A$為SDD，則$Ax=b$有解。
證明：因?yàn)?A$為SDD，故$A$可逆，從而$x=A^{-1}b.$

（SDD的性質(zhì)）若$A$為SDD，則對(duì)于方程$Ax=b$, Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法收斂。
證明：因?yàn)槲覀冞€沒講到Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法，因此我們將在之后的博客中給出該性質(zhì)的證明，敬請(qǐng)期待。