摘要：近來在深度學(xué)習(xí)中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等深度模型在各種復(fù)雜的任務(wù)中表現(xiàn)十分優(yōu)秀。機(jī)器學(xué)習(xí)中最常用的正則化方法是對(duì)權(quán)重施加范數(shù)約束。

近來在深度學(xué)習(xí)中，卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等深度模型在各種復(fù)雜的任務(wù)中表現(xiàn)十分優(yōu)秀。例如卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN）這種由生物啟發(fā)而誕生的網(wǎng)絡(luò)，它基于數(shù)學(xué)的卷積運(yùn)算而能檢測(cè)大量的圖像特征，因此可用于解決多種圖像視覺應(yīng)用、目標(biāo)分類和語音識(shí)別等問題。

但是，深層網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的學(xué)習(xí)要求大量數(shù)據(jù)，對(duì)計(jì)算能力的要求很高。神經(jīng)元和參數(shù)之間的大量連接需要通過梯度下降及其變體以迭代的方式不斷調(diào)整。此外，有些架構(gòu)可能因?yàn)閺?qiáng)大的表征力而產(chǎn)生測(cè)試數(shù)據(jù)過擬合等現(xiàn)象。這時(shí)我們可以使用正則化和優(yōu)化技術(shù)來解決這兩個(gè)問題。

梯度下降是一種優(yōu)化技術(shù)，它通過最小化代價(jià)函數(shù)的誤差而決定參數(shù)的最優(yōu)值，進(jìn)而提升網(wǎng)絡(luò)的性能。盡管梯度下降是參數(shù)優(yōu)化的自然選擇，但它在處理高度非凸函數(shù)和搜索全局最小值時(shí)也存在很多局限性。

正則化技術(shù)令參數(shù)數(shù)量多于輸入數(shù)據(jù)量的網(wǎng)絡(luò)避免產(chǎn)生過擬合現(xiàn)象。正則化通過避免訓(xùn)練完美擬合數(shù)據(jù)樣本的系數(shù)而有助于算法的泛化。為了防止過擬合，增加訓(xùn)練樣本是一個(gè)好的解決方案。此外，還可使用數(shù)據(jù)增強(qiáng)、L1 正則化、L2 正則化、Dropout、DropConnect 和早停（Early stopping）法等。

增加輸入數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)增強(qiáng)、早停、dropout 及其變體是深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中常用的調(diào)整方法。本論文作為之前文章《徒手實(shí)現(xiàn) CNN：綜述論文詳解卷積網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)本質(zhì) 》的補(bǔ)充，旨在介紹開發(fā)典型卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架時(shí)最常用的正則化和優(yōu)化策略。

主體論文：Regularization and Optimization strategies in Deep Convolutional Neural Network

論文地址：https://arxiv.org/pdf/1712.04711.pdf

摘要：卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ConvNet）在一些復(fù)雜的機(jī)器學(xué)習(xí)任務(wù)中性能表現(xiàn)非常好。ConvNet 架構(gòu)需要大量數(shù)據(jù)和參數(shù)，因此其學(xué)習(xí)過程需要消耗大量算力，向全局最小值的收斂過程較慢，容易掉入局部極小值的陷阱導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果不好。在一些案例中，ConvNet 架構(gòu)與數(shù)據(jù)產(chǎn)生過擬合，致使架構(gòu)難以泛化至新樣本。為了解決這些問題，近年來研究者開發(fā)了多種正則化和優(yōu)化策略。此外，研究顯示這些技術(shù)能夠大幅提升網(wǎng)絡(luò)性能，同時(shí)減少算力消耗。使用這些技術(shù)的前提是全面了解該技術(shù)提升網(wǎng)絡(luò)表達(dá)能力的理論原理，本論文旨在介紹開發(fā) ConvNet 架構(gòu)最常用策略的理論概念和數(shù)學(xué)公式。

正則化技術(shù)

正則化技術(shù)是保證算法泛化能力的有效工具，因此算法正則化的研究成為機(jī)器學(xué)習(xí)中主要的研究主題 [9] [10]。此外，正則化還是訓(xùn)練參數(shù)數(shù)量大于訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的深度學(xué)習(xí)模型的關(guān)鍵步驟。正則化可以避免算法過擬合，過擬合通常發(fā)生在算法學(xué)習(xí)的輸入數(shù)據(jù)無法反應(yīng)真實(shí)的分布且存在一些噪聲的情況。過去數(shù)年，研究者提出和開發(fā)了多種適合機(jī)器學(xué)習(xí)算法的正則化方法，如數(shù)據(jù)增強(qiáng)、L2 正則化（權(quán)重衰減）、L1 正則化、Dropout、Drop Connect、隨機(jī)池化和早停等。

除了泛化原因，奧卡姆剃刀原理和貝葉斯估計(jì)也都支持著正則化。根據(jù)奧卡姆剃刀原理，在所有可能選擇的模型中，能很好解釋已知數(shù)據(jù)，并且十分簡(jiǎn)單的模型才是較好的模型。而從貝葉斯估計(jì)的角度來看，正則化項(xiàng)對(duì)應(yīng)于模型的先驗(yàn)概率。

4.1 數(shù)據(jù)增強(qiáng)

數(shù)據(jù)增強(qiáng)是提升算法性能、滿足深度學(xué)習(xí)模型對(duì)大量數(shù)據(jù)的需求的重要工具。數(shù)據(jù)增強(qiáng)通過向訓(xùn)練數(shù)據(jù)添加轉(zhuǎn)換或擾動(dòng)來人工增加訓(xùn)練數(shù)據(jù)集。數(shù)據(jù)增強(qiáng)技術(shù)如水平或垂直翻轉(zhuǎn)圖像、裁剪、色彩變換、擴(kuò)展和旋轉(zhuǎn)通常應(yīng)用在視覺表象和圖像分類中。

4.2 L1 和 L2 正則化

L1 和 L2 正則化是最常用的正則化方法。L1 正則化向目標(biāo)函數(shù)添加正則化項(xiàng)，以減少參數(shù)的值總和；而 L2 正則化中，添加正則化項(xiàng)的目的在于減少參數(shù)平方的總和。根據(jù)之前的研究，L1 正則化中的很多參數(shù)向量是稀疏向量，因?yàn)楹芏嗄Ｐ蛯?dǎo)致參數(shù)趨近于 0，因此它常用于特征選擇設(shè)置中。機(jī)器學(xué)習(xí)中最常用的正則化方法是對(duì)權(quán)重施加 L2 范數(shù)約束。

標(biāo)準(zhǔn)正則化代價(jià)函數(shù)如下：

其中正則化項(xiàng) R(w) 是：

另一種懲罰權(quán)重的值總和的方法是 L1 正則化：

L1 正則化在零點(diǎn)不可微，因此權(quán)重以趨近于零的常數(shù)因子增長(zhǎng)。很多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在權(quán)重衰減公式中使用一階步驟來解決非凸 L1 正則化問題 [19]。L1 范數(shù)的近似變體是：

另一個(gè)正則化方法是混合 L1 和 L2 正則化，即彈性網(wǎng)絡(luò)罰項(xiàng) [20]。

在《深度學(xué)習(xí)》一書中，參數(shù)范數(shù)懲罰 L2 正則化能讓深度學(xué)習(xí)算法「感知」到具有較高方差的輸入 x，因此與輸出目標(biāo)的協(xié)方差較小（相對(duì)增加方差）的特征權(quán)重將會(huì)收縮。而 L1 正則化會(huì)因?yàn)樵诜较?i 上 J(w; X, y) 對(duì) J(w; X, y) hat 的貢獻(xiàn)被抵消而使 w_i 的值變?yōu)?0（J(w; X, y) hat 為 J(w; X, y) 加上 L1 正則項(xiàng)）。此外，參數(shù)的范數(shù)正則化也可以作為約束條件。對(duì)于 L2 范數(shù)來說，權(quán)重會(huì)被約束在一個(gè) L2 范數(shù)的球體中，而對(duì)于 L1 范數(shù)，權(quán)重將被限制在 L1 所確定的范圍內(nèi)。

4.3 Dropout

Bagging 是通過結(jié)合多個(gè)模型降低泛化誤差的技術(shù)，主要的做法是分別訓(xùn)練幾個(gè)不同的模型，然后讓所有模型表決測(cè)試樣例的輸出。而 Dropout 可以被認(rèn)為是集成了大量深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的 Bagging 方法，因此它提供了一種廉價(jià)的 Bagging 集成近似方法，能夠訓(xùn)練和評(píng)估值數(shù)據(jù)數(shù)量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

Dropout 指暫時(shí)丟棄一部分神經(jīng)元及其連接。隨機(jī)丟棄神經(jīng)元可以防止過擬合，同時(shí)指數(shù)級(jí)、高效地連接不同網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)。神經(jīng)元被丟棄的概率為 1 ? p，減少神經(jīng)元之間的共適應(yīng)。隱藏層通常以 0.5 的概率丟棄神經(jīng)元。使用完整網(wǎng)絡(luò)（每個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出權(quán)重為 p）對(duì)所有 2^n 個(gè) dropout 神經(jīng)元的樣本平均值進(jìn)行近似計(jì)算。Dropout 顯著降低了過擬合，同時(shí)通過避免在訓(xùn)練數(shù)據(jù)上的訓(xùn)練節(jié)點(diǎn)提高了算法的學(xué)習(xí)速度。

4.4 Drop Connect

Drop Connect 是另一種減少算法過擬合的正則化策略，是 Dropout 的一般化。在 Drop Connect 的過程中需要將網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)權(quán)重的一個(gè)隨機(jī)選擇子集設(shè)置為零，取代了在 Dropout 中對(duì)每個(gè)層隨機(jī)選擇激活函數(shù)的子集設(shè)置為零的做法。由于每個(gè)單元接收來自過去層單元的隨機(jī)子集的輸入，Drop Connect 和 Dropout 都可以獲得有限的泛化性能 [22]。Drop Connect 和 Dropout 相似的地方在于它涉及在模型中引入稀疏性，不同之處在于它引入的是權(quán)重的稀疏性而不是層的輸出向量的稀疏性。

4.5 早停法

早停法可以限制模型最小化代價(jià)函數(shù)所需的訓(xùn)練迭代次數(shù)。早停法通常用于防止訓(xùn)練中過度表達(dá)的模型泛化性能差。如果迭代次數(shù)太少，算法容易欠擬合（方差較小，偏差較大），而迭代次數(shù)太多，算法容易過擬合（方差較大，偏差較?。Ｔ缤７ㄍㄟ^確定迭代次數(shù)解決這個(gè)問題，不需要對(duì)特定值進(jìn)行手動(dòng)設(shè)置。

優(yōu)化技術(shù)

5.1 動(dòng)量（Momentum）

隨機(jī)梯度下降和小批量梯度下降是機(jī)器學(xué)習(xí)中最常見的優(yōu)化技術(shù)，然而在大規(guī)模應(yīng)用和復(fù)雜模型中，算法學(xué)習(xí)的效率是非常低的。而動(dòng)量策略旨在加速學(xué)習(xí)過程，特別是在具有較高曲率的情況下。動(dòng)量算法利用先前梯度的指數(shù)衰減滑動(dòng)平均值在該方向上進(jìn)行回退 [26]。該算法引入了變量 v 作為參數(shù)在參數(shù)空間中持續(xù)移動(dòng)的速度向量，速度一般可以設(shè)置為負(fù)梯度的指數(shù)衰減滑動(dòng)平均值。對(duì)于一個(gè)給定需要最小化的代價(jià)函數(shù)，動(dòng)量可以表達(dá)為：

其中 α 為學(xué)習(xí)率，γ ∈ (0, 1] 為動(dòng)量系數(shù)，v 是速度向量，θ是保持和速度向量方向相同的參數(shù)。一般來說，梯度下降算法下降的方向?yàn)榫植孔钏俚姆较颍〝?shù)學(xué)上稱為最速下降法），它的下降方向在每一個(gè)下降點(diǎn)一定與對(duì)應(yīng)等高線的切線垂直，因此這也就導(dǎo)致了 GD 算法的鋸齒現(xiàn)象。雖然 SGD 算法收斂較慢，但動(dòng)量法是令梯度直接指向最優(yōu)解的策略之一。在實(shí)踐中，γ初始設(shè)置為 0.5，并在初始學(xué)習(xí)穩(wěn)定后增加到 0.9。同樣，α 一般也設(shè)置地非常小，因?yàn)樘荻鹊牧考?jí)通常是比較大的。

5.2 Nesterov 加速梯度（NAG）

Nesterov 加速梯度（NAG）和經(jīng)典動(dòng)量算法非常相似，它是一種一階優(yōu)化算法，但在梯度評(píng)估方面有所不同。在 NAG 中，梯度的評(píng)估是通過速度的實(shí)現(xiàn)而完成的。NAG 根據(jù)參數(shù)進(jìn)行更新，和動(dòng)量算法一樣，不過 NAG 的收斂速度更好。在批量梯度下降中，與平滑的凸函數(shù)相比，NAG 的收斂速度超出 1/k 到 1/(k^2) [27]。但是，在 SGD 中，NAG 無法提高收斂速度。NAG 的更新如下：

動(dòng)量系數(shù)設(shè)置為 0.9。經(jīng)典的動(dòng)量算法先計(jì)算當(dāng)前梯度，再轉(zhuǎn)向更新累積梯度。相反，在 NAG 中，先轉(zhuǎn)向更新累積梯度，再進(jìn)行校正。其結(jié)果是防止算法速度過快，且增加了反應(yīng)性（responsiveness）。

5.3 Adagrad

Adagrad 亦稱為自適應(yīng)梯度（adaptive gradient），允許學(xué)習(xí)率基于參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，而不需要在學(xué)習(xí)過程中人為調(diào)整學(xué)習(xí)率。Adagrad 根據(jù)不常用的參數(shù)進(jìn)行較大幅度的學(xué)習(xí)率更新，根據(jù)常用的參數(shù)進(jìn)行較小幅度的學(xué)習(xí)率更新。因此，Adagrad 成了稀疏數(shù)據(jù)如圖像識(shí)別和 NLP 的天然選擇。然而 Adagrad 的較大問題在于，在某些案例中，學(xué)習(xí)率變得太小，學(xué)習(xí)率單調(diào)下降使得網(wǎng)絡(luò)停止學(xué)習(xí)過程。在經(jīng)典的動(dòng)量算法和 Nesterov 中，加速梯度參數(shù)更新是對(duì)所有參數(shù)進(jìn)行的，并且學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)率保持不變。在 Adagrad 中，每次迭代中每個(gè)參數(shù)使用的都是不同的學(xué)習(xí)率。

5.4 AdaDelta

AdaDelta 使用最近歷史梯度值縮放學(xué)習(xí)率，并且和經(jīng)典的動(dòng)量算法相似，累積歷史的更新以加速學(xué)習(xí)。AdaDelta 可以有效地克服 Adagrad 學(xué)習(xí)率收斂至零的缺點(diǎn)。AdaDelta 將累積過去平方梯度的范圍限制在固定窗口 w 內(nèi)，取代了經(jīng)典動(dòng)量算法累積所有歷史梯度值的做法。在時(shí)間 t 運(yùn)行的平均值計(jì)算 E[g^2](t) 依賴于過去的平均值和當(dāng)前的梯度值。因此，該平均值計(jì)算可以表示為：

其中 γ 和動(dòng)量項(xiàng)相同。實(shí)踐中，該值通常設(shè)為 0.9 左右。根據(jù)等式 3.13，SGD 更新的等式為：

根據(jù)等式 5.6，Adagrad 的更新為：

使用過往的平方梯度 ?替換對(duì)角矩陣 G_i，得到

其中分母是梯度的平方根誤差，

用 ?替換先前更新規(guī)則中的學(xué)習(xí)率 α，得到

5.5 RMS prop

RMS prop 類似于 Adadelta 的較早的更新向量，

RMS prop 的更新規(guī)則如下：

在 RMS prop 中，學(xué)習(xí)率除以平方梯度的指數(shù)衰減平均值。

5.6 Adam?

1.Adam 優(yōu)化算法的基本機(jī)制

Adam 算法和傳統(tǒng)的隨機(jī)梯度下降不同。隨機(jī)梯度下降保持單一的學(xué)習(xí)率（即 alpha）更新所有的權(quán)重，學(xué)習(xí)率在訓(xùn)練過程中并不會(huì)改變。而 Adam 通過計(jì)算梯度的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)而為不同的參數(shù)設(shè)計(jì)獨(dú)立的自適應(yīng)性學(xué)習(xí)率。

Adam 算法的提出者描述其為兩種隨機(jī)梯度下降擴(kuò)展式的優(yōu)點(diǎn)集合，即：

適應(yīng)性梯度算法（AdaGrad）為每一個(gè)參數(shù)保留一個(gè)學(xué)習(xí)率以提升在稀疏梯度（即自然語言和計(jì)算機(jī)視覺問題）上的性能。

均方根傳播（RMSProp）基于權(quán)重梯度最近量級(jí)的均值為每一個(gè)參數(shù)適應(yīng)性地保留學(xué)習(xí)率。這意味著算法在非穩(wěn)態(tài)和在線問題上有很有優(yōu)秀的性能。

Adam 算法同時(shí)獲得了 AdaGrad 和 RMSProp 算法的優(yōu)點(diǎn)。Adam 不僅如 RMSProp 算法那樣基于一階矩均值計(jì)算適應(yīng)性參數(shù)學(xué)習(xí)率，它同時(shí)還充分利用了梯度的二階矩均值（即有偏方差/uncentered variance）。具體來說，算法計(jì)算了梯度的指數(shù)移動(dòng)均值（exponential moving average），超參數(shù) beta1 和 beta2 控制了這些移動(dòng)均值的衰減率。

移動(dòng)均值的初始值和 beta1、beta2 值接近于 1（推薦值），因此矩估計(jì)的偏差接近于 0。該偏差通過首先計(jì)算帶偏差的估計(jì)而后計(jì)算偏差修正后的估計(jì)而得到提升。

2.Adam算法

Adam論文地址：https://arxiv.org/abs/1412.6980

如上算法所述，在確定了參數(shù)α、β_1、β_2 和隨機(jī)目標(biāo)函數(shù) f(θ) 之后，我們需要初始化參數(shù)向量、一階矩向量、二階矩向量和時(shí)間步。然后當(dāng)參數(shù) θ 沒有收斂時(shí)，循環(huán)迭代地更新各個(gè)部分。即時(shí)間步 t 加 1、更新目標(biāo)函數(shù)在該時(shí)間步上對(duì)參數(shù)θ所求的梯度、更新偏差的一階矩估計(jì)和二階原始矩估計(jì)，再計(jì)算偏差修正的一階矩估計(jì)和偏差修正的二階矩估計(jì)，然后再用以上計(jì)算出來的值更新模型的參數(shù)θ。

該算法更新梯度的指數(shù)移動(dòng)均值（mt）和平方梯度（vt），而參數(shù) β_1、β_2 ∈ [0, 1) 控制了這些移動(dòng)均值（moving average）指數(shù)衰減率。移動(dòng)均值本身使用梯度的一階矩（均值）和二階原始矩（有偏方差）進(jìn)行估計(jì)。然而因?yàn)檫@些移動(dòng)均值初始化為 0 向量，所以矩估計(jì)值會(huì)偏差向 0，特別是在初始時(shí)間步中和衰減率非常小（即β接近于 1）的情況下是這樣的。但好消息是，初始化偏差很容易抵消，因此我們可以得到偏差修正（bias-corrected）的估計(jì) m_t hat 和 v_t hat。

注意算法的效率可以通過改變計(jì)算順序而得到提升，例如將偽代碼最后三行循環(huán)語句替代為以下兩個(gè)：

3. Adam 的更新規(guī)則

4. 初始化偏差修正

正如本論文第二部分算法所述，Adam 利用了初始化偏差修正項(xiàng)。本部分將由二階矩估計(jì)推導(dǎo)出這一偏差修正項(xiàng)，一階矩估計(jì)的推導(dǎo)完全是相似的。首先我們可以求得隨機(jī)目標(biāo)函數(shù) f 的梯度，然后我們希望能使用平方梯度（squared gradient）的指數(shù)移動(dòng)均值和衰減率 β_2 來估計(jì)它的二階原始矩（有偏方差）。令 g1, ..., gT 為時(shí)間步序列上的梯度，其中每個(gè)梯度都服從一個(gè)潛在的梯度分布 gt ～ p(gt)。現(xiàn)在我們初始化指數(shù)移動(dòng)均值 v0=0（零向量），而指數(shù)移動(dòng)均值在時(shí)間步 t 的更新可表示為： 其中 gt^2 表示 Hadamard 積 gt⊙gt，即對(duì)應(yīng)元素之間的乘積。同樣我們可以將其改寫為在前面所有時(shí)間步上只包含梯度和衰減率的函數(shù)，即消去 v：?

我們希望知道時(shí)間步 t 上指數(shù)移動(dòng)均值的期望值 E[vt] 如何與真實(shí)的二階矩 ?相關(guān)聯(lián)，所以我們可以對(duì)這兩個(gè)量之間的偏差進(jìn)行修正。下面我們同時(shí)對(duì)表達(dá)式（1）的左邊和右邊去期望，即如下所示：

如果真實(shí)二階矩 E[g^2] 是靜態(tài)的（stationary），那么ζ = 0。否則 ζ 可以保留一個(gè)很小的值，這是因?yàn)槲覀儜?yīng)該選擇指數(shù)衰減率 β1 以令指數(shù)移動(dòng)均值分配很小的權(quán)重給梯度。所以初始化均值為零向量就造成了只留下了 (1 ? βt^2 ) 項(xiàng)。我們因此在算法 1 中除以了ζ項(xiàng)以修正初始化偏差。

在稀疏矩陣中，為了獲得一個(gè)可靠的二階矩估計(jì)，我們需要選擇一個(gè)很小的 β2 而在許多梯度上取均值。然而正好是這種小β2 值的情況導(dǎo)致了初始化偏差修正的缺乏，因此也就令初始化步長(zhǎng)過大。

5.7 Nadam

Nadam 是 NAG 和 Adam 優(yōu)化器的結(jié)合 [28]。如果過往歷史平方梯度的指數(shù)衰減平均值為 v_t，而過往歷史梯度的指數(shù)衰減平均值為 m_t，那么經(jīng)典動(dòng)量更新規(guī)則如下：

我們需要修改動(dòng)量規(guī)則以獲得 Nadam 優(yōu)化器。因此將上述公式擴(kuò)展為：

NAG 的修改如下：

可以通過更新梯度 g_t 時(shí)（第一次）和更新參數(shù) θ_t+1（第二次）修改 NAG，而不是兩次更新動(dòng)量。因此動(dòng)量向量直接更新參數(shù)可以表述如下：

為了添加 NAG 到 Adam，需要使用當(dāng)前的動(dòng)態(tài)向量替換先前的動(dòng)態(tài)向量。因此，通過 m hat 和 m_t 擴(kuò)展上述公式，Adam 更新規(guī)則如下：

利用先前時(shí)間步動(dòng)量向量的偏差修正估計(jì)更新 Nadam 優(yōu)化器的規(guī)則，如下：

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