摘要：滿二叉樹除葉子節(jié)點以為的每個節(jié)點都有兩個孩子。完全二叉樹可以看成是可以有若干額外向左靠的葉子節(jié)點的完美二叉樹。

以下是在編程面試中排名前10的算法相關(guān)的概念，我會通過一些簡單的例子來闡述這些概念。由于完全掌握這些概念需要更多的努力，因此這份列表只是作為一個介紹。本文將從Java的角度看問題，包含下面的這些概念：

字符串

鏈表

樹

圖

排序

遞歸 vs. 迭代

動態(tài)規(guī)劃

位操作

概率問題

排列組合

toCharArray() // 獲得字符串對應(yīng)的char數(shù)組
Arrays.sort()  // 數(shù)組排序
Arrays.toString(char[] a) // 數(shù)組轉(zhuǎn)成字符串
charAt(int x) // 獲得某個索引處的字符
length() // 字符串長度
length // 數(shù)組大小

在Java中，鏈表的實現(xiàn)非常簡單，每個節(jié)點Node都有一個值val和指向下個節(jié)點的鏈接next。

class Node {
    int val;
    Node next; 
    Node(int x) {
        val = x;
    next = null;
    }
}

鏈表兩個著名的應(yīng)用是棧Stack和隊列Queue。
棧：

class Stack{
    Node top; 

    public Node peek(){
        if(top != null){
            return top;
        }

        return null;
    }

    public Node pop(){
        if(top == null){
            return null;
        }else{
            Node temp = new Node(top.val);
            top = top.next;
            return temp;    
        }
    }

    public void push(Node n){
        if(n != null){
            n.next = top;
            top = n;
        }
    }
}

隊列：

class Queue{
    Node first, last;
    public void enqueue(Node n){
        if(first == null){
            first = n;
            last = first;
        }else{
            last.next = n;
            last = n;
        }
    }
    public Node dequeue(){
        if(first == null){
            return null;
        }else{
            Node temp = new Node(first.val);
            first = first.next;
            return temp;
        }   
    }
}

這里的樹通常是指二叉樹，每個節(jié)點都包含一個左孩子節(jié)點和右孩子節(jié)點，像下面這樣：

class TreeNode{
    int value;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
}

下面是與樹相關(guān)的一些概念：

平衡 vs. 非平衡：平衡二叉樹中，每個節(jié)點的左右子樹的深度相差至多為1（1或0）。

滿二叉樹（Full Binary Tree）：除葉子節(jié)點以為的每個節(jié)點都有兩個孩子。

完美二叉樹（Perfect Binary Tree）：是具有下列性質(zhì)的滿二叉樹：所有的葉子節(jié)點都有相同的深度或處在同一層次，且每個父節(jié)點都必須有兩個孩子。

完全二叉樹（Complete Binary Tree）：二叉樹中，可能除了最后一個，每一層都被完全填滿，且所有節(jié)點都必須盡可能想左靠。

譯者注：完美二叉樹也隱約稱為完全二叉樹。完美二叉樹的一個例子是一個人在給定深度的祖先圖，因為每個人都一定有兩個生父母。完全二叉樹可以看成是可以有若干額外向左靠的葉子節(jié)點的完美二叉樹。疑問：完美二叉樹和滿二叉樹的區(qū)別？（參考：http://xlinux.nist.gov/dads/HTML/perfectBinaryTree.html）

圖相關(guān)的問題主要集中在深度優(yōu)先搜索（depth first search）和廣度優(yōu)先搜索（breath first search）。
下面是一個簡單的圖廣度優(yōu)先搜索的實現(xiàn)。
1) 定義GraphNode

class GraphNode{ 
    int val;
    GraphNode next;
    GraphNode[] neighbors;
    boolean visited;

    GraphNode(int x) {
        val = x;
    }

    GraphNode(int x, GraphNode[] n){
        val = x;
        neighbors = n;
    }

    public String toString(){
        return "value: "+ this.val; 
    }
}

2) 定義一個隊列Queue

class Queue{
    GraphNode first, last;

    public void enqueue(GraphNode n){
        if(first == null){
            first = n;
            last = first;
        }else{
            last.next = n;
            last = n;
        }
    }

    public GraphNode dequeue(){
        if(first == null){
            return null;
        }else{
            GraphNode temp = new GraphNode(first.val, first.neighbors);
            first = first.next;
            return temp;
        }   
    }
}

3) 用隊列Queue實現(xiàn)廣度優(yōu)先搜索

public class GraphTest {

    public static void main(String[] args) {
        GraphNode n1 = new GraphNode(1); 
        GraphNode n2 = new GraphNode(2); 
        GraphNode n3 = new GraphNode(3); 
        GraphNode n4 = new GraphNode(4); 
        GraphNode n5 = new GraphNode(5); 

        n1.neighbors = new GraphNode[]{n2,n3,n5};
        n2.neighbors = new GraphNode[]{n1,n4};
        n3.neighbors = new GraphNode[]{n1,n4,n5};
        n4.neighbors = new GraphNode[]{n2,n3,n5};
        n5.neighbors = new GraphNode[]{n1,n3,n4};

        breathFirstSearch(n1, 5);
    }

    public static void breathFirstSearch(GraphNode root, int x){
        if(root.val == x)
            System.out.println("find in root");

        Queue queue = new Queue();
        root.visited = true;
        queue.enqueue(root);

        while(queue.first != null){
            GraphNode c = (GraphNode) queue.dequeue();
            for(GraphNode n: c.neighbors){

                if(!n.visited){
                    System.out.print(n + " ");
                    n.visited = true;
                    if(n.val == x)
                        System.out.println("Find "+n);
                    queue.enqueue(n);
                }
            }
        }
    }
}

Output:

value: 2 value: 3 value: 5 Find value: 5
value: 4

下面是不同排序算法的時間復(fù)雜度，你可以去wiki看一下這些算法的基本思想。

另外，這里有一些實現(xiàn)/演示：: Counting sort、Mergesort、 Quicksort、 InsertionSort。

《視覺直觀感受 7 種常用的排序算法》

《視頻: 6分鐘演示15種排序算法》

對程序員來說，遞歸應(yīng)該是一個與生俱來的思想（a built-in thought），可以通過一個簡單的例子來說明。

問題： 有n步臺階，一次只能上1步或2步，共有多少種走法。

步驟1:找到走完前n步臺階和前n-1步臺階之間的關(guān)系。

為了走完n步臺階，只有兩種方法：從n-1步臺階爬1步走到或從n-2步臺階處爬2步走到。如果f(n)是爬到第n步臺階的方法數(shù)，那么f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

步驟2: 確保開始條件是正確的。

f(0) = 0;
f(1) = 1;

public static int f(int n){
    if(n <= 2) return n;
    int x = f(n-1) + f(n-2);
    return x;
}

遞歸方法的時間復(fù)雜度是n的指數(shù)級，因為有很多冗余的計算，如下：

f(5)
f(4) + f(3)
f(3) + f(2) + f(2) + f(1)
f(2) + f(1) + f(1) + f(0) + f(1) + f(0) + f(1)
f(1) + f(0) + f(1) + f(1) + f(0) + f(1) + f(0) + f(1)

直接的想法是將遞歸轉(zhuǎn)換為迭代：

public static int f(int n) {

    if (n <= 2){
        return n;
    }

    int first = 1, second = 2;
    int third = 0;

    for (int i = 3; i <= n; i++) {
        third = first + second;
        first = second;
        second = third;
    }

    return third;
}

對這個例子而言，迭代花費的時間更少，你可能也想看看Recursion vs Iteration。

動態(tài)規(guī)劃是解決下面這些性質(zhì)類問題的技術(shù)：

一個問題可以通過更小子問題的解決方法來解決（譯者注：即問題的最優(yōu)解包含了其子問題的最優(yōu)解，也就是最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)）。

有些子問題的解可能需要計算多次（譯者注：也就是子問題重疊性質(zhì)）。

子問題的解存儲在一張表格里，這樣每個子問題只用計算一次。

需要額外的空間以節(jié)省時間。

爬臺階問題完全符合上面的四條性質(zhì)，因此可以用動態(tài)規(guī)劃法來解決。

public static int[] A = new int[100];

public static int f3(int n) {
    if (n <= 2)
        A[n]= n;

    if(A[n] > 0)
        return A[n];
    else
        A[n] = f3(n-1) + f3(n-2);//store results so only calculate once!
    return A[n];
}

獲得給定數(shù)字n的第i位：(i從0計數(shù)并從右邊開始)

public static boolean getBit(int num, int i){
    int result = num & (1<

例如，獲得數(shù)字10的第2位：

i=1, n=10

1<<1= 10

1010&10=10

10 is not 0, so return true;

9. 概率問題

解決概率相關(guān)的問題通常需要很好的規(guī)劃了解問題（formatting the problem），這里剛好有一個這類問題的簡單例子：

一個房間里有50個人，那么至少有兩個人生日相同的概率是多少？（忽略閏年的事實，也就是一年365天）

計算某些事情的概率很多時候都可以轉(zhuǎn)換成先計算其相對面。在這個例子里，我們可以計算所有人生日都互不相同的概率，也就是：365/365 + 364/365 + 363/365 + 365-n/365 + 365-49/365，這樣至少兩個人生日相同的概率就是1 – 這個值。

public static double caculateProbability(int n){
    double x = 1; 

    for(int i=0; i

calculateProbability(50) = 0.97

10. 排列組合

組合和排列的區(qū)別在于次序是否關(guān)鍵。

如果你有任何問題請在下面評論。

參考/推薦資料：

1. Binary tree

2. Introduction to Dynamic Programming

3. UTSA Dynamic Programming slides

4. Birthday paradox

5. Cracking the Coding Interview: 150 Programming Interview Questions and Solutions, Gayle Laakmann McDowell



原文 Top 10 Algorithms for Coding Interview

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