摘要：而的浮點(diǎn)數(shù)設(shè)置的偏移值是，因?yàn)橹笖?shù)域表現(xiàn)為一個(gè)非負(fù)數(shù)，位，所以，實(shí)際的，所以。這是因?yàn)樗鼈冊(cè)谵D(zhuǎn)為二進(jìn)制時(shí)要舍入部分的不同可能造成的不同舍

IEEE 754 表示：你盡管抓狂、罵娘，但你能完全避開我，算我輸。

首先我們還是來(lái)看幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，能說(shuō)出每一個(gè)問(wèn)題的細(xì)節(jié)的話就可以跳過(guò)了，而如果只能泛泛說(shuō)一句“因?yàn)镮EEE754浮點(diǎn)數(shù)精度問(wèn)題”，那么下文還是值得一看。

第一個(gè)問(wèn)題是知名的0.1+0.2 != 0.3，為什么？菜鳥會(huì)告訴你“因?yàn)镮EEE 754的浮點(diǎn)數(shù)表示標(biāo)準(zhǔn)”，老鳥會(huì)補(bǔ)充道“0.1和0.2不能被二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)精確表示，這個(gè)加法會(huì)使精度喪失”，巨鳥會(huì)告訴你整個(gè)過(guò)程是怎樣的，小數(shù)加法精度可能在哪幾步喪失，你能答上細(xì)節(jié)么？

第二個(gè)問(wèn)題，既然十進(jìn)制0.1不能被二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)精確存儲(chǔ)，那么為什么console.log(0.1)打印出來(lái)的確確實(shí)實(shí)是0.1這個(gè)精確的值？

第三個(gè)問(wèn)題，你知道這些比較結(jié)果是怎么回事么？

//這相等和不等是怎么回事？
0.100000000000000002 ==
0.100000000000000010 // true

0.100000000000000002 ==
0.100000000000000020 // false

//顯然下面的數(shù)值沒有超過(guò)Number.MAX_SAFE_INTEGER的范圍，為什么是這樣？
Math.pow(10, 10) + Math.pow(10, -7) === Math.pow(10, 10) //  true
Math.pow(10, 10) + Math.pow(10, -6) === Math.pow(10, 10) //  false

追問(wèn)一句，給出一個(gè)數(shù)，給這個(gè)數(shù)加一個(gè)增量，再和這個(gè)數(shù)比較，要保持結(jié)果是true，即相等，那么大約這個(gè)增量的數(shù)量級(jí)最大可以到多少，你能估計(jì)出來(lái)么？

第四個(gè)問(wèn)題，旁友，你知道下面這段一直在被引用的的代碼么（這段代碼用于解決常見范圍內(nèi)的小數(shù)加法以符合常識(shí)，比如將0.1+0.2結(jié)果精確計(jì)算為0.3）？你理解這樣做的思路么？但是你知道這段代碼有問(wèn)題么？比如你計(jì)算268.34+0.83就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。

//注意函數(shù)接受兩個(gè)string形式的數(shù)
function numAdd(num1/*:String*/, num2/*:String*/) { 
    var baseNum, baseNum1, baseNum2; 
    try { 
        baseNum1 = num1.split(".")[1].length; 
    } catch (e) { 
        baseNum1 = 0; 
    } 
    try { 
        baseNum2 = num2.split(".")[1].length; 
    } catch (e) { 
        baseNum2 = 0;
    } 
    baseNum = Math.pow(10, Math.max(baseNum1, baseNum2)); 
    return (num1 * baseNum + num2 * baseNum) / baseNum; 
};

//看上去好像解決了0.1+0.2
numAdd("0.1","0.2"); //返回精確的0.3

//但是你試試這個(gè)
numAdd("268.34","0.83");//返回 269.16999999999996

那么多問(wèn)題，還真是該死的IEEE-754，而這一切都源于IEEE-754浮點(diǎn)數(shù)本身的格式，以及“說(shuō)「約」就「約」”（舍入）的規(guī)則，致使精度喪失，計(jì)算淪喪，作為一個(gè)前端，我們就從JS的角度來(lái)扒一扒。

所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”，要從內(nèi)部瓦解敵人，就要先了解敵人，但為什么只選擇雙精度呢，因?yàn)橹懒穗p精度就明白了單精度，而且在JavaScript中，所有的Number都是以64-bit的雙精度浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)的，所以我們來(lái)回顧一下到底是怎么存儲(chǔ)的，以及這樣子存儲(chǔ)怎么映射到具體的數(shù)值。

二進(jìn)制在存儲(chǔ)的時(shí)候是以二進(jìn)制的“科學(xué)計(jì)數(shù)法”來(lái)存儲(chǔ)的，我們回顧下十進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法，比如54846.3，這個(gè)數(shù)我們?cè)谟脴?biāo)準(zhǔn)的科學(xué)計(jì)數(shù)法應(yīng)該是這樣的：5.48463e4，這里有三部分，第一是符號(hào)，這是一個(gè)正數(shù)，只是一般省略正號(hào)不寫，第二是有效數(shù)字部分，這里就是5.48463，最后是指數(shù)部分，這里是4。以上就是在十進(jìn)制領(lǐng)域下的科學(xué)計(jì)數(shù)法，換到二進(jìn)制也是一樣，只是十進(jìn)制下以10為底，二進(jìn)制以2為底。

雙精度的浮點(diǎn)數(shù)在這64位上劃分為3段，而這3段也就確定了一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)的值，64bit的劃分是“1-11-52”的模式，具體來(lái)說(shuō)：

就是1位最高位（最左邊那一位）表示符號(hào)位，0表示正，1表示負(fù)

接下去11位表示指數(shù)部分

最后52位表示尾數(shù)部分，也就是有效域部分

這里幺蛾子就很多了。首先“每個(gè)實(shí)數(shù)都有一個(gè)相反數(shù)”這是中學(xué)教的，于是符號(hào)位改變下就是一個(gè)相反數(shù)了，但是對(duì)于數(shù)字0來(lái)說(shuō)，相反數(shù)就是自己，而符號(hào)位對(duì)于每一個(gè)由指數(shù)域和尾數(shù)域確定的數(shù)都是一視同仁，有正就有負(fù)，要么都沒有。所以這里就有正0和負(fù)0的概念，但是正0和負(fù)0是相等的，但是他們能反應(yīng)出符號(hào)位的不同，和正零、負(fù)零相關(guān)的有意思的事這里不贅述。

然后，指數(shù)不一定要正數(shù)吧，可以是負(fù)數(shù)吧，一種方式是指數(shù)域部分也設(shè)置一個(gè)符號(hào)位，第二種是IEEE754采取的方式，設(shè)置一個(gè)偏移，使指數(shù)部分永遠(yuǎn)表現(xiàn)為一個(gè)非負(fù)數(shù)，然后減去某個(gè)偏移值才是真實(shí)的指數(shù)，這樣做的好處是可以表現(xiàn)一些極端值，我們等會(huì)會(huì)看到。而64bit的浮點(diǎn)數(shù)設(shè)置的偏移值是1023，因?yàn)橹笖?shù)域表現(xiàn)為一個(gè)非負(fù)數(shù)，11位，所以 0 <= e <= 2^11 -1，實(shí)際的E=e-1023，所以 -1023 <= E <= 1024。這兩端的兩個(gè)極端值結(jié)合不同的尾數(shù)部分代表了不同的含義。

最后，尾數(shù)部分，也就是有效域部分，為什么叫有效域部分，舉個(gè)栗子，這里有52個(gè)坑，但是你的數(shù)字由60個(gè)二進(jìn)制1組成，不管怎樣，你都是不能完全放下的，只能放下52個(gè)1，那剩下的8個(gè)1呢？要么舍入要么舍棄了，總之是無(wú)效了。所以，尾數(shù)部分決定了這個(gè)數(shù)的精度。

而對(duì)于二進(jìn)制的科學(xué)計(jì)數(shù)法，如果保持小數(shù)點(diǎn)前必須有一位非0的，那有效域是不是必然是1.XXXX的形式？而這樣子的二進(jìn)制被稱為規(guī)格化的，這樣的二進(jìn)制在存儲(chǔ)時(shí)，小數(shù)點(diǎn)前的1是默認(rèn)存在，但是默認(rèn)不占坑的，尾數(shù)部分就存儲(chǔ)小數(shù)點(diǎn)后的部分。

問(wèn)題來(lái)了，如果這個(gè)二進(jìn)制小數(shù)太小了，那么會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？對(duì)于一個(gè)接近于0的二進(jìn)制小數(shù)，一味追求1.xxx的形式，必然導(dǎo)致指數(shù)部分會(huì)向負(fù)無(wú)窮靠攏，而真實(shí)的指數(shù)部分最小也就能表示-1023，一旦把指數(shù)部分逼到了-1023，還沒有到1.xxx的形式，那么只能用0.xxx的形式表示有效部分，這樣的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示非規(guī)格化的。

于是，我們整一個(gè)64位浮點(diǎn)數(shù)能表示的值由符號(hào)位s，指數(shù)域e和尾數(shù)域f確定如下，從中我們可以看到正負(fù)零、規(guī)格化和非規(guī)格化二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)、正負(fù)無(wú)窮是怎么表示的：

這里的(0.f)和(1.f)指的是二進(jìn)制的表示，都要轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制再去計(jì)算，這樣你就可以得到最終值。

回顧了IEEE754的64bit浮點(diǎn)數(shù)之后，有以下3點(diǎn)需要牢記的：

指數(shù)和尾數(shù)域是有限的，一個(gè)是11位，一個(gè)是52位

符號(hào)位決定正負(fù)，指數(shù)域決定數(shù)量級(jí)，尾數(shù)域決定精度

所有數(shù)值的計(jì)算和比較，都是這樣以64個(gè)bit的形式來(lái)進(jìn)行的，拋開腦海中想當(dāng)然的十進(jìn)制

當(dāng)你直接計(jì)算0.1+0.2時(shí)，你要知道“你大媽已經(jīng)不是你大媽，你大爺也已經(jīng)不是你大爺了，所以他們生的孩子（結(jié)果）出現(xiàn)問(wèn)題就可以理解了”。這里的0.1和0.2是十進(jìn)制下的0.1和0.2，當(dāng)它們轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制時(shí)，它們是無(wú)限循環(huán)的二進(jìn)制表示。

這引出第一處可能丟失精度的地方，即在十進(jìn)制轉(zhuǎn)二進(jìn)制的過(guò)程中丟失精度。因?yàn)榇蟛糠值氖M(jìn)制小數(shù)是不能被這52位尾數(shù)的二進(jìn)制小數(shù)表示完畢的，我們眼中最簡(jiǎn)單的0.1、0.2在轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制小數(shù)時(shí)都是無(wú)限循環(huán)的，還有些可能不是無(wú)限循環(huán)的，但是轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制小數(shù)的時(shí)候，小數(shù)部分超過(guò)了52位，那也是放不下的。

那么既然只有52位的有效域，那么必然超出52位的部分會(huì)發(fā)生一件靈異事件——閹割，文明點(diǎn)叫“舍入”。IEEE754規(guī)定了幾種舍入規(guī)則，但是默認(rèn)的是舍入到最接近的值，如果“舍”和“入”一樣接近，那么取結(jié)果為偶數(shù)的選擇。

所以上面的0.1+0.2中，當(dāng)0.1和0.2被存儲(chǔ)時(shí)，存進(jìn)去的已經(jīng)不是精確的0.1和0.2了，而是精度發(fā)生一定丟失的值。但是精度丟失還沒有完，當(dāng)這個(gè)兩個(gè)值發(fā)生相加時(shí)，精度還可能進(jìn)一步丟失，注意幾次精度丟失的疊加不一定使結(jié)果偏差越來(lái)越大哦。

第二處可能丟失精度的地方是浮點(diǎn)數(shù)參與計(jì)算時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)參與計(jì)算時(shí)，有一個(gè)步驟叫對(duì)階，以加法為例，要把小的指數(shù)域轉(zhuǎn)化為大的指數(shù)域，也就是左移小指數(shù)浮點(diǎn)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，一旦小數(shù)點(diǎn)左移，必然會(huì)把52位有效域的最右邊的位給擠出去，這個(gè)時(shí)候擠出去的部分也會(huì)發(fā)生“舍入”。這就又會(huì)發(fā)生一次精度丟失。

所以就0.1+0.2這個(gè)例子精度在兩個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)為二進(jìn)制過(guò)程中和相加過(guò)程中都已經(jīng)丟失了精度，那么最后的結(jié)果有問(wèn)題，不能如愿也就不奇怪了，如果你很想探究具體這是怎么計(jì)算的，文末附錄的鏈接能幫助你。

是的，照理說(shuō)，0.1不能被精確表示，存儲(chǔ)的是0.1的一個(gè)近似值，那么我打印0.1時(shí)，比如console.log(0.1)，就是打印出了精確的0.1啊。

事實(shí)是，當(dāng)你打印的時(shí)候，其實(shí)發(fā)生了二進(jìn)制轉(zhuǎn)為十進(jìn)制，十進(jìn)制轉(zhuǎn)為字符串，最后輸出的。而十進(jìn)制轉(zhuǎn)為二進(jìn)制會(huì)發(fā)生近似，那么二進(jìn)制轉(zhuǎn)為十進(jìn)制也會(huì)發(fā)生近似，打印出來(lái)的值其實(shí)是近似過(guò)的值，并不是對(duì)浮點(diǎn)數(shù)存儲(chǔ)內(nèi)容的精確反映。

關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，StackOverflow上有一個(gè)回答可以參考，回答中指出了一篇文獻(xiàn)，有興趣的可以去看：

How does javascript print 0.1 with such accuracy?

再次強(qiáng)調(diào)，所有數(shù)值的計(jì)算和比較，都是這樣以64個(gè)bit的形式來(lái)進(jìn)行的，當(dāng)這64個(gè)bit容不下時(shí)，就會(huì)發(fā)生近似，一近似就發(fā)生意外了。

有一些在線的小數(shù)轉(zhuǎn)IEEE754浮點(diǎn)數(shù)的應(yīng)用對(duì)于驗(yàn)證一些結(jié)果還是很有幫助的，你可以用這個(gè)IEEE-754 Floating-Point Conversion工具幫你驗(yàn)證你的小數(shù)轉(zhuǎn)化為IEEE754浮點(diǎn)數(shù)之后是怎么個(gè)鬼樣。

來(lái)看第一部分中提出兩個(gè)簡(jiǎn)單的比較問(wèn)題：

//這相等和不等是怎么回事？
0.100000000000000002 ==
0.1  //true

0.100000000000000002 ==
0.100000000000000010 // true

0.100000000000000002 ==
0.100000000000000020 // false

當(dāng)你把0.1、0.100000000000000002、0.10000000000000001和0.10000000000000002用上面的工具轉(zhuǎn)為浮點(diǎn)數(shù)后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，他們的尾數(shù)部分（注意看尾數(shù)部分最低4位，其余位都是相同的），前三個(gè)是相同的，最低4位是1010，但是最后一個(gè)轉(zhuǎn)化為浮點(diǎn)數(shù)尾數(shù)最低4位是1011。

這是因?yàn)樗鼈冊(cè)谵D(zhuǎn)為二進(jìn)制時(shí)要舍入部分的不同可能造成的不同舍入導(dǎo)致在尾數(shù)上可能呈現(xiàn)不一致，而比較兩個(gè)數(shù)，本質(zhì)上是比較這兩個(gè)數(shù)的這64個(gè)bit，不同即是不等的，有一個(gè)例外，+0==-0。

再來(lái)看提到的第二個(gè)相等問(wèn)題：

Math.pow(10, 10) + Math.pow(10, -7) === Math.pow(10, 10) //  true
Math.pow(10, 10) + Math.pow(10, -6) === Math.pow(10, 10) //  false

為什么上面一個(gè)是可以相等的，下面一個(gè)就不行了，首先我們來(lái)轉(zhuǎn)化下：

Math.pow(10, 10) =>
指數(shù)域 e =1056 ，即 E = 33
尾數(shù)域 (1.)0010101000000101111100100000000000000000000000000000

Math.pow(10, -7) =>
指數(shù)域 e =999 ，即 E = -24

Math.pow(10, -6) =>
指數(shù)域 e =1003 ，即 E = -20
尾數(shù)域 (1.)0000110001101111011110100000101101011110110110001101

可以看到1e10的指數(shù)是33次，而Math.pow(10, -7)指數(shù)是-24次，相差57次，遠(yuǎn)大于52，因此，相加時(shí)發(fā)生對(duì)階，早就把Math.pow(10, -7)近似成0了。

而Math.pow(10, -6)指數(shù)是-20次，相差53次，看上去大于52次，但有一個(gè)默認(rèn)的前導(dǎo)1別忘了，于是當(dāng)發(fā)生對(duì)階，小數(shù)點(diǎn)左移53位時(shí)，這一串尾數(shù)（別忘了前導(dǎo)1）正好被擠出第52位，這時(shí)候就會(huì)發(fā)生”舍入“，舍入結(jié)果是最低位，也就是bit0位變成1，這個(gè)時(shí)候和Math.pow(10, 10)相加，結(jié)果的最低位變成了1，自然和Math.pow(10, 10)不相等。

你可以用這個(gè)IEEE754計(jì)算器來(lái)驗(yàn)證結(jié)果。

承接上面的那個(gè)結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)數(shù)值為10的10次時(shí)，加一個(gè)-7數(shù)量級(jí)的數(shù)，對(duì)于值沒有影響，加一個(gè)-6數(shù)量級(jí)的數(shù)，卻對(duì)值由影響，這里的本質(zhì)我們也是知道的：

這是由于計(jì)算時(shí)要對(duì)階，如果一個(gè)小的增量在對(duì)階時(shí)最高有效位右移（因?yàn)樾?shù)點(diǎn)在左移）到了52位開外，那么這個(gè)增量就很可能被忽略，即對(duì)階完尾數(shù)被近似成0。

換句話說(shuō)，我們可以說(shuō)對(duì)于10¹⁰數(shù)量級(jí)，其精確度大約在10^-6數(shù)量級(jí)，那么對(duì)于10⁹、10⁸、10⁰等等數(shù)量級(jí)的值，精確度又大約在多少呢？

有一張圖很好地說(shuō)明了這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：

這張圖，橫坐標(biāo)表示浮點(diǎn)數(shù)值數(shù)量級(jí)，縱坐標(biāo)表示可以到達(dá)的精度的數(shù)量級(jí)，當(dāng)然這里橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的數(shù)值數(shù)量級(jí)指的是十進(jìn)制表示下的數(shù)量級(jí)。

比如你在控制臺(tái)測(cè)試（.toFixed()函數(shù)接受一個(gè)20及以內(nèi)的整數(shù)n以顯示小數(shù)點(diǎn)后n位）：

0.1.toFixed(20) ==> 0.10000000000000000555（這里也可以看出0.1是精確存儲(chǔ)的），根據(jù)上面的圖我們知道0.1是10^-1數(shù)量級(jí)的，那么精確度大約在10^-17左右，而我們驗(yàn)證一下:

//動(dòng)10的-18數(shù)量級(jí)及之后的數(shù)字，并不會(huì)有什么，依舊判定相等
0.10000000000000000555 ==
0.10000000000000000999  //true
//動(dòng)10的-17數(shù)量級(jí)上的數(shù)字，結(jié)果馬上不一樣了
0.10000000000000000555 ==
0.10000000000000001555  //false

從圖上也可以看到之前的那個(gè)例子，10¹⁰數(shù)量級(jí)，精確度在10^-6數(shù)量級(jí)。

也就是說(shuō)，在IEEE754的64位浮點(diǎn)數(shù)表示下，如果一個(gè)數(shù)的數(shù)量級(jí)在10^X，其精確度在10^Y，那么X和Y大致滿足：

X-16=Y

知道這個(gè)之后我們?cè)倩剡^(guò)頭來(lái)看ECMA在定義的Number.EPSILON，如果還不知道有這個(gè)的存在，可以控制臺(tái)去輸出下，這個(gè)數(shù)大約是10^-16數(shù)量級(jí)的一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)定義為”大于1的能用IEEE754浮點(diǎn)數(shù)表示為數(shù)值的最小數(shù)與1的差值“，這個(gè)數(shù)用來(lái)干嘛呢？

0.1+0.2-0.3是返回true的，也就是說(shuō)ECMA預(yù)設(shè)了一個(gè)精度，便于開發(fā)者使用，但是我們現(xiàn)在可以知道這個(gè)預(yù)定義的值其實(shí)是對(duì)應(yīng) 10⁰ 數(shù)量級(jí)數(shù)值的精確度，如果你要比較更小數(shù)量級(jí)的兩個(gè)數(shù)，預(yù)定義的這個(gè)Number.EPSILON就不夠用了（不夠精確了），你可以用數(shù)學(xué)方式將這個(gè)預(yù)定義值的數(shù)量級(jí)進(jìn)行縮小。

//自己可以控制臺(tái)打印看看
Number.MAX_VALUE => 能表示的最大正數(shù)，數(shù)量級(jí)在10的308次
Number.MIN_VALUE => 能表示的最小正數(shù)，注意不是最小數(shù)，最小數(shù)是上面那個(gè)取反，10的-324數(shù)量級(jí)

Number.MAX_SAFE_INTEGER => 能表示的最大安全數(shù)，9開頭的16位數(shù)
Number.MIN_SAFE_INTEGER => 能表示的最小安全數(shù)，上面那個(gè)的相反數(shù)

//注意要傳入兩個(gè)小數(shù)的字符串表示，不然在小數(shù)轉(zhuǎn)成二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)的過(guò)程中精度就已經(jīng)損失了
function numAdd(num1/*:String*/, num2/*:String*/) { 
    var baseNum, baseNum1, baseNum2; 
    try { 
        //取得第一個(gè)操作數(shù)小數(shù)點(diǎn)后有幾位數(shù)字，注意這里的num1是字符串形式的
        baseNum1 = num1.split(".")[1].length; 
    } catch (e) {
        //沒有小數(shù)點(diǎn)就設(shè)為0 
        baseNum1 = 0; 
    } 
    try { 
        //取得第二個(gè)操作數(shù)小數(shù)點(diǎn)后有幾位數(shù)字
        baseNum2 = num2.split(".")[1].length; 
    } catch (e) { 
        baseNum2 = 0;
    }
    //計(jì)算需要 乘上多少數(shù)量級(jí) 才能把小數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù) 
    baseNum = Math.pow(10, Math.max(baseNum1, baseNum2)); 
    //把兩個(gè)操作數(shù)先乘上計(jì)算所得數(shù)量級(jí)轉(zhuǎn)化為整數(shù)再計(jì)算，結(jié)果再除以這個(gè)數(shù)量級(jí)轉(zhuǎn)回小數(shù)
    return (num1 * baseNum + num2 * baseNum) / baseNum; 
};

console.log(num1 * baseNum);
console.log(num2 * baseNum);